Bisakah Anda Melarikan Diri dari Kemacetan Lalu Lintas (Lagi)?

Selamat datang di The Riddler. Setiap minggu, saya menawarkan masalah yang berkaitan dengan hal-hal yang kita sayangi di sini: matematika, logika, dan probabilitas. Dua teka-teki disajikan setiap minggu: Riddler Express untuk Anda yang menginginkan sesuatu yang kecil dan Riddler Classic untuk Anda yang menyukai gerakan teka-teki lambat. Kirimkan jawaban yang benar untuk keduanya, dan Anda mungkin akan mendapatkan shoutout di kolom berikutnya. Harap tunggu hingga Senin untuk membagikan jawaban Anda secara publik! Jika Anda membutuhkan petunjuk atau memiliki teka-teki favorit yang mengumpulkan debu di loteng Anda, temukan saya di twitter atau kirimi saya email.

Riddler Ekspres

Dari Christopher Kyba muncul teka-teki bippity boppity:

Setiap pagi, ibu peri Anda muncul dan memberi Anda kesempatan untuk bermain game. Dalam permainan ini, dia memberikan 10 kartu tertutup. Sembilan dari kartu adalah pemenang, dan satu kartu adalah pecundang. Jika Anda memilih kartu yang menang, Anda mendapatkan hadiah. Anda kemudian dapat mengambil hadiah Anda dan pergi atau bermain lagi untuk kesempatan memenangkan hadiah kedua. Tetapi jika Anda kalah pada permainan kedua itu, Anda pergi tanpa apa-apa dan permainan berakhir untuk hari itu. Setiap kali Anda berhasil, dia mengundang Anda untuk bermain lagi dalam kondisi yang sama (memenangkan hadiah lain atau kehilangan segalanya).

Strategi apa yang memaksimalkan jumlah rata-rata hadiah yang Anda menangkan setiap hari? Dan berapa rata-rata itu?

Kredit tambahan: Misalkan ibu baptis peri Anda berurusan N kartu setiap hari (bukan 10 kartu), dengan N1 kartu menang dan satu kartu kalah. Sekarang apa strategi Anda, dan berapa banyak hadiah yang Anda harapkan untuk dimenangkan setiap hari?

Kirimkan jawaban Anda

Riddler Klasik

Dahulu kala, ada teka-teki tentang mobil yang terjebak macet. Anda bisa mengatakan itu benar-benar terjebak dengan saya.

Dalam teka-teki asli, ada N mobil di jalan raya yang panjang dan lurus dengan satu lajur. Setiap mobil melaju ke arah yang sama tetapi dengan kecepatan konstan yang unik dan dipilih secara acak. Namun, jika seorang pengemudi mengejar mobil lain yang lebih lambat (atau sekelompok mobil yang sama terhalang oleh mobil yang lebih lambat itu), mereka tetap terjebak di belakang mobil yang lebih lambat itu.

Kali ini (seperti yang disarankan oleh salah satu masalah ekstensi teka-teki asli), jalur kedua terbuka. Tangkapannya adalah bahwa ada hanya satu titik masuk ke jalur kedua ini, sehingga setiap mobil memiliki tepat satu kesempatan untuk memutuskan apakah akan melanjutkan ke jalur kedua ini.

Dari mobil pertama di jalur asli ke mobil terakhir, masing-masing memutuskan apakah akan beralih ke jalur kedua saat lewat. Untungnya, setiap mobil mengetahui kecepatan setiap mobil lain, sehingga masing-masing akan membuat saklar asalkan pada akhirnya dapat melanjutkan dengan kecepatan yang lebih besar (baik sendiri atau sebagai bagian dari kelompok yang lebih cepat).

Rata-rata, berapa banyak kelompok mobil yang akhirnya akan terbentuk di dua jalur?

Kirimkan jawaban Anda

Solusi untuk Riddler Express minggu lalu

Selamat kepada Roy McDonald dari San Mateo, California, pemenang Riddler Express minggu lalu.

Untuk kuantitas yang meningkat secara eksponensial, seperti bunga yang diperoleh dari pokok, Anda dapat menggunakan Aturan 72 untuk memperkirakan waktu penggandaan berdasarkan tingkat bunga. Misalnya, untuk tingkat bunga 4 persen — artinya pertumbuhan eksponensial adalah 1,04^tdengan t diukur dalam tahun — waktu penggandaan kira-kira 72 dibagi 4, atau 18 tahun.

Minggu lalu, tugas Anda adalah menemukan satu tingkat bunga yang Aturan 72 memberitahu Anda akurat menggandakan waktu.

Tapi sebelum kita sampai ke itu — ya, 1.04^t mewakili bunga yang dimajemukkan setiap tahun. Sementara itu, bunga yang dimajemukkan secara terus-menerus pada tingkat nominal “4 persen per tahun” akan menjadi e^0,04tatau kira-kira 1,0408^t. Mari kita kesampingkan seluk beluk terminologi keuangan dan fokus pada penggabungan tahunan, yang dikutip dalam contoh yang diberikan dalam teka-teki.

Misalkan tingkat bunga adalah r persen, yang berarti pertumbuhan eksponensial adalah (1+r/100)^t. Untuk memenuhi Aturan 72 dengan sempurna, jumlahnya akan berlipat ganda ketika t sama dengan 72/r. Sebagai persamaan, ini berarti (1+r/100)^(72/r) = 2. Mengambil logaritma (atau logaritma natural, jika Anda lebih suka) dari kedua sisi memberi Anda persamaan 72/r·log(1+r/100) = log(2), dan mengatur ulang variabel dan konstanta memberi Anda r/log(1+r/100) = 72/log(2).

Sayangnya, persamaan terakhir ini secara teknis merupakan persamaan transendental, yang berarti tidak dapat diselesaikan secara analitis. Anda membutuhkan komputer atau kalkulator untuk bantuan! Nilai dari r yang memecahkan persamaan ternyata sekitar 7,847 persen.

Beberapa pemecah masalah, seperti Jeremy Hummel, menemukan nilai yang lebih tepat. Jeremy menghitung persentasenya menjadi 7.84687145301538, sedangkan waktu penggandaannya kira-kira 9.17563138775925 tahun.

Akhirnya, pujian untuk semua pemecah masalah yang mencoba melakukan ini secara analitis. Secara khusus, Amy Leblang menggunakan ekspansi Taylor untuk logaritma natural — yaitu, ln(1+x) xx²/2+x³/3 — dan selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan. Dengan pendekatan ini, Amy menemukan bahwa r adalah sekitar 75−25 (200/3·ln(2)−39), atau sekitar 7,87 persen. Itu sangat dekat dengan hasil yang tepat!

Solusi untuk Riddler Classic minggu lalu

Selamat kepada Rich Erikson dari Warrenton, Virginia, pemenang Riddler Classic minggu lalu.

Minggu lalu, saya diberi resep 1,5 pil obat tertentu setiap hari selama 10 hari, jadi saya minum sebotol dengan 15 pil. Setiap pagi, saya mengambil dua pil dari botol secara acak.

Pada pagi pertama, ini dijamin menjadi dua pil penuh. Saya mengkonsumsi salah satunya, membagi yang lain menjadi dua menggunakan pisau presisi, mengkonsumsi setengah dari pil kedua itu dan memasukkan setengah sisanya kembali ke dalam botol.

Pada pagi berikutnya ketika saya meminum dua pil, ada tiga kemungkinan:

• Saya mendapat dua pil penuh. Seperti pada pagi pertama, saya membagi satu dan mengembalikan setengah yang tidak terpakai ke dalam botol.
• Saya mendapat satu pil penuh dan satu setengah pil, keduanya saya konsumsi.
• Saya mendapat dua setengah pil. Dalam hal ini, saya mengambil pil lain secara acak. Jika itu setengah pil, maka saya mengkonsumsi ketiga bagian itu. Tetapi jika itu adalah pil penuh, saya membaginya dan mengembalikan setengah yang tidak terpakai ke dalam botol.

Setiap pil – apakah itu pil penuh atau setengah pil – memiliki kemungkinan yang sama untuk dikeluarkan dari botol.

Pada hari ke-10, saya kembali mengeluarkan dua pil dan meminumnya. Terburu-buru, saya langsung membuang botol ke tempat sampah sebelum repot-repot memeriksa apakah saya baru saja mengonsumsi pil penuh atau setengah pil. Berapa probabilitas bahwa saya telah mengambil dosis penuh, yang berarti saya tidak perlu menggali tempat sampah untuk mendapatkan setengah pil yang tersisa?

Setelah hari kesembilan saya harus memiliki 1,5 pil tersisa, yang berarti saya memiliki satu pil penuh dan setengah pil atau tiga setengah pil. Pertanyaan ini menanyakan kemungkinan bahwa saya memiliki satu pil penuh dan setengah pil setelah hari kesembilan, daripada tiga setengah pil.

Misalkan pada hari tertentu saya punya F pil penuh dan H setengah pil. Berapa probabilitas untuk berbagai jumlah pil penuh dan setengah untuk hari berikutnya?

• Probabilitas mendapatkan dua pil penuh adalah F(F1)/[(F+H)(F+H−1)]setelah itu saya punya F2 pil penuh dan H+1 setengah pil.
• Probabilitas mendapatkan satu pil penuh dan satu setengah pil adalah 2FH/[(F+H)(F+H−1)]setelah itu saya punya F1 pil penuh dan H1 setengah pil. Koefisien 2 berasal dari fakta bahwa saya bisa mendapatkan dua pil berbeda dalam urutan apa pun.
• Probabilitas mendapatkan dua setengah pil dan kemudian satu pil penuh adalah H(H1)F/[(F+H)(F+H−1)(F+H−2)]setelah itu saya punya F1 pil penuh dan H1 setengah pil. (Beberapa pemecah masalah mencatat bahwa ini menghasilkan efek yang sama seperti kasus sebelumnya.)
• Probabilitas mendapatkan dua setengah pil dan kemudian setengah pil lagi adalah H(H1)(H2)/[(F+H)(F+H−1)(F+H−2)]setelah itu saya punya F pil penuh dan H3 setengah pil.

Anda dapat menggunakan empat probabilitas ini untuk melacak nilai transisi dari F dan H dari satu hari ke hari berikutnya. Pada pagi pertama, F adalah 15 dan H adalah 0, yang berarti pada pagi kedua F harus 13 dan H harus 1. Pada pagi ketiga, ada peluang 6-in-7 untuk memiliki F = 11 dan H = 2, dan peluang 1-dalam-7 untuk memiliki F = 12 dan H = 0.

Melanjutkan perhitungan berulang ini, hari demi hari, pemecah masalah Amy Altchuler dan Peter Exterkate menemukan bahwa probabilitas memiliki F dan H keduanya sama dengan 1 pada pagi ke 10 adalah 80.529/101.920, atau sekitar 79 persen. Diagram pohon Peter ditunjukkan di bawah ini:

Sementara itu, Laurent Lessard dengan cerdik menggunakan polinomial untuk sampai pada jawaban yang sama. Baik Laurent dan Emily Boyajian lebih jauh mengeksplorasi kemungkinan menyelesaikan dengan satu pil penuh dan setengah pil pada hari terakhir perawatan karena jumlah hari mendekati tak terbatas (dengan asumsi jumlah pil tetap 50 persen lebih banyak daripada jumlah hari) . Dengan lebih banyak hari, probabilitas ini turun — mungkin, tanpa gejala, menjadi nol. Benjamin Dickman menemukan makalah tahun 2014 oleh Daniel J. Velleman yang mengeksplorasi masalah serupa di mana dosis harian yang ditentukan setiap hari adalah 0,5 pil daripada 1,5 pil.